一次元波動方程式と解

2.1 一般解

前項で一次元波動方程式 が求まったが、この方程式の一般解は、二階の常微分方程式だから２つの未定定数を持つ。そこで、Ｃ_１、Ｃ_２を定数として、

Φ＝C_１ｅ^{ｊ（ωｔ−ｋｘ）}＋Ｃ_２ｅ^{ｊ（ωｔ＋ｋｘ）}

を解と仮定し、波動方程式へ代入してみれば、これが解であることが確認できる。なおこの解の第１項はxの正方向、第２項は逆方向に進む波を表わしている。これを変形して、

Φ＝（Ａcosｋｘ＋Ｂsinｋｘ）ｅ^ｊωｔ

と書くこともできる。
ただし、

         Ａ＝（Ｃ1＋Ｃ2），　 Ｂ＝−ｊ（Ｃ1−Ｃ2）